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En los casos donde queremos resolver ecuaciones del tipo x^2 + 4 = 0, obtenemos que x = \sqrt{-4}. Para poder dar sentido a esta raíz cuadrada de un número negativo, se define el número imaginario i = \sqrt{-1}, al que llamamos unidad imaginaria.

Esto nos da que toda ecuación del tipo p(x) = cte tiene solución.

• Un número complejo se escribe como z = a + bi, con a, b \in \mathbb{R}.
• El módulo de un número complejo es |z| = \sqrt{a^2 + b^2}. ! %%../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10.excalidraw.md%%
• El conjugado de un número complejo consiste en cambiar el signo de la parte imaginaria: \overline{z}=a-b_i
• El producto de un número complejo por su conjugado es igual al cuadrado de su módulo: \overline{z} , z\cdot \overline{z}=|z|²

\huge z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a²-(bi)²=a²+b²=|z|²

Forma polar

La forma polar es una forma alternativa de representar a un numero complejo donde se define con su modulo r=|z| y su angulo \alpha de esta manera r_{\alpha} = r (Cos \alpha + i Sin \alpha) ! %%../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10_1.excalidraw.md%% El ángulo que forma z con el eje real positivo, denotado por \alpha, se llama argumento de z, \arg(z) = \alpha. Por lo tanto, el módulo |z| y el ángulo \alpha definen completamente el número complejo z.

Una propiedad importante es que el módulo del producto de dos números complejos es igual al producto de sus módulos:

\huge |z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|

Además, en forma polar se expresa como

\huge z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)

[!REMEMBER] Recuerda \huge |z|=r

y si z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha) y z' = r'(\cos \alpha' + i \sin \alpha'), entonces

\huge z \cdot z' = rr' \big(\cos(\alpha + \alpha') + i \sin(\alpha + \alpha')\big).

[!NOTE] Nota Multiplicar por i equivale a rotar 90 (3+2i)\cdot i=-2+3i

\huge \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'} \big(\cos(\alpha - \alpha') + i \sin(\alpha - \alpha')\big)

Producto polar

La formula para calcular el producto en forma polar

\huge r_{\alpha} \cdot r'_{\alpha'}=(r\cdot r')_{\alpha + \alpha '}

División polar

La formula para dividir en forma polar

\huge \frac {z_1} {z_2} = (\frac {r_1} {r_2})_{\alpha_1-\alpha_2}

Potencia de un número complejo

Si z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha) y \mu \in \mathbb{Z}, entonces:

\huge z^\mu = r^\mu \big(\cos(\mu \alpha) + i \sin(\mu \alpha)\big)

O en forma polar:

\huge z^\mu_{\alpha}=z^\mu_{\alpha\cdot\mu}
$$$

- Aquí $r = |z|$ es el módulo de $z$ y $\alpha = \arg(z)$ es el argumento.

**Ejemplo:**

Sea $z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i$.  
- Módulo: $r = |z| = 1$  
- Argumento: $\alpha = \frac{\pi}{4}$  

Entonces:

z^{100} = 1^{100} \big(\cos(100 \cdot \frac{\pi}{4}) + i \sin(100 \cdot \frac{\pi}{4}) \big) = \cos(25 \pi) + i \sin(25 \pi) = -1

# Raíz n-ésima de un número complejo

Para calcular la raíz $n$-ésima de un número complejo $z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$, se utiliza la siguiente fórmula:

Si tenemos

\huge ^{n}\sqrt r \space (cos \space \alpha + i \space sin \space \alpha)

Podemos obtener n soluciones, que pueden ser repetidas, cada solución sera:

\large R = \space^{n} \sqrt r

y su parte $\alpha$ sera

\large \alpha = \frac {\theta + 2\pi\cdot K} n,\quad donde \space K {0, 1, 2...n-1}

# Exponencial de un numero complejo

\huge e^{a+bi} = e^{a} \cdot e^{bi}

\huge e^{bi} = Cos(b) + iSin(b)

Si $|z| = r \quad argz = \alpha$

\huge z=re^{\alpha i}