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En los casos donde se quiere resolver equitación del estilo $x²+4=0$, nos encontraremos en casos donde $x=\sqrt{-4}$, para eso asignamos un numero $i=\sqrt{-1}$ , que lo nombramos numero imaginario.
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Esto nos da que para toda $p(x)=cte$ (Tiene solución).
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- Un numero complejo se declara como $a+b_i$, con a y be siendo $R$.
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- El modulo de un numero complejo es $|z|=\sqrt{a²+b²}$
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![[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10.excalidraw.svg|300]]
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- Un numero complejo conjugado consiste en cambiar de símbolo un numero imaginario $\overline{z}=a-b_i$
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- z multiplicado por su conjugado $\overline{z}$ , $z*\overline{z}=|z|²$
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\huge z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a²-(bi)²=a²+b²=|z|²
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$$
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Ejemplo
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![[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10_0.excalidraw.svg]]
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## Forma polar
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La forma polar es una forma alternativa de representar a un numero complejo
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![[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10_1.excalidraw.svg|300]]
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El angulo que forma el eje Ox es el argumento(arg) de z, por lo tanto, $|z|$ y $\alpha$ definen el numero complejo z
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\huge r_{\alpha} \cdot r'_{\alpha '}=(r\cdot r') => |z\cdot z'|=|z|\cdot |z'|
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Comprobación:
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![[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_11_0.excalidraw.svg]]
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\huge arg(z z')=arg z + arg z'
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>[!NOTE] Nota
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>Multiplicar por i equivale a rotar 90
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>$(3+2i)\cdot i=-2+3i$
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\huge\frac{r_\alpha}{r'_\alpha}=(\frac{r}{r'})_{\alpha-\alpha'}
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## Potencias
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Para calcular la potencia de un numero real se usa
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\huge (r_\alpha)^\mu=r^{\mu}_{\mu\alpha}
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Ejemplo
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\huge(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)^{100}=1_{100\frac{\pi}{4}}
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![[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_11_1.excalidraw.svg|200]]
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# Raíz n-esima
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Para calcular la raíz n-esima se utiliza
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\huge^{\mu}\sqrt{r_\alpha}=r'_{\alpha'}
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tal que $r'^{\mu}=r$ $\mu\alpha'=\alpha(+k2\pi)$
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# Exponencial de un numero complejo
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\huge e^{a+bi} = e^{a} \cdot e^{bi}
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\huge e^{bi} = Cos(b) + iSin(b)
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Si $|z| = r \quad argz = \alpha$
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\huge z=re^{\alpha i}
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$$
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