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La **cinemática** es una rama de la física que se encarga de estudiar el **movimiento de los cuerpos** sin preocuparse por las causas que lo producen.
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# Definiciones
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- **Vector** **posición**, dependerá de un escalar como el tiempo.
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\huge \vec{r}(t)=x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}
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- **Vector** **desplazamiento**, dependerá de un vector como la posición.
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$$
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\huge \Delta\vec{r}=\Delta x\vec{i} +\Delta y\vec{j}+\Delta z\vec{k}
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- **Velocidad** **media**, relación entre un desplazamiento y el incremento de tiempo.
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\huge \vec{v}_m=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}
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- **Velocidad instantánea**, variación de posición en un instante de tiempo : Tangente de la trayectoria
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\huge \vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}
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= \frac{d\vec{r}}{dt}
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= \frac{dx}{dt} \vec{i} + \frac{dy}{dt} \vec{j} + \frac{dz}{dt} \vec{k}
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= v_x \vec{i} + v_y \vec{j} + v_z \vec{k}
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$$
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- **Aceleración** **media**, relación entre la variación de velocidad y el incremento de tiempo
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$$
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\huge \vec{a}_m = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}
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$$
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>[!NOTE] Nota
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>Conociendo la posición r(t), podemos obtener la velocidad v(t) y luego la aceleración a(t) mediante derivadas sucesivas.
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>$$
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>\huge \frac{d\vec r}{dt} = \vec v,
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>\frac{d\vec v}{dt} = \vec a
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>$$
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>De forma inversa, a partir de a(t) podemos determinar v(t) y luego r(t) mediante integrales.
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>$$
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>\huge \int \vec a = \vec v + \vec v_0,
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>\int \vec v = \vec r + \vec r_0
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>$$
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# Aceleración Nula
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Cuando la derivada de la aceleración es nula, obtenemos que la velocidad es constante.
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\huge \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=0 \quad \Rightarrow \quad \vec{v}=const
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Entonces tenemos que su posición es la integral de la velocidad
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\huge\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v} \quad \Rightarrow \quad
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\vec{r}=\int_0^{t}
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\vec vdt=\vec vt+\vec{r}_0
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Así que en un Movimiento rectilíneo uniforme:
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\huge a=0 \quad \Rightarrow \quad v=v_0 \quad \Rightarrow\quad r = r_0+v_0t
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# Aceleración constante
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Cuando la aceleración tiene tiene una derivada constante, vemos que la velocidad es igual a la integral de la aceleración y como la aceleración es constante obtenemos que $\vec v = \vec at+ \vec v_0$.
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\huge \vec a=\frac{d\vec v}{dt}=const
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\quad \Rightarrow \quad
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\vec v = \int_o^{t}\vec adt=\vec at + \vec v_0
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$$
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Y como la derivada de la posición es la velocidad que equivale a $\vec v = \vec at+ \vec v_0$
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\huge \frac{d\vec r}{dt} = \vec r = \vec at + \vec v_0
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\quad \Rightarrow \quad \vec r = \int_0^{t}\vec atdt+\vec v_0dt=\frac{\vec at²}{2}+\vec v_0t + \vec r_0
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$$
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Así que tenemos que Movimiento rectilíneo uniforme acelerado es
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\huge \frac{d\vec a}{dt}=const
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\quad \Rightarrow \quad
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\vec r = \vec r_0 + \vec v_0t + \frac 1 2 \vec at²
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$$
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# Movimiento Circular
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Los movimientos circulares se caracterizan porque mantienen siempre la misma distancia al centro de la trayectoria, independientemente de su posición.
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- Coordenadas cartesianas (x, y)
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- Coordenadas polares (r, $\theta$)
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La relación entre el sistema de coordenadas cartesianas y las polares son:
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\huge
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\begin{cases}
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x=r\cos(\theta) \\
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y=r\sin(\theta)
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\end{cases}
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$$
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![[../Ilustraciónes/Cinematica 22-09-25_16.excalidraw.svg|center]]
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%%[[../Ilustraciónes/Cinematica 22-09-25_16.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%%
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La posición de un punto en un plano rotatorio es:
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\huge \vec r = r \vec e_r
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$$
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Donde
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- $\vec r$ es la posición
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- r es el radio
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- $\vec e_r$ es el vector unitario radial
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## Velocidad
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La velocidad se puede dar derivando la posición
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\huge \vec v = \frac {d \vec r} {dt} =
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\frac {d r} {dt} \vec e_r + r \frac {d \vec e_r} {dt} \\
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\huge \vec v = r'\vec e_r+r \vec e'_r = r'\vec e_r + r \theta'\vec e_{\theta}
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$$
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Aquí obtenemos dos términos:
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- $r' \cdot \vec e_r$ es la velocidad radial ya que la derivada de $r$ ($r'$) es la diferencia de radio y este se multiplica por la dirección radial $\vec e_r$
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- $r \cdot \vec e'_r$ es mas difícil de ver pero $\vec e'_r$ es la dirección tangencial de la dirección radial y r es el radio
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Representado de manera visual
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![[../Ilustraciónes/Cinematica 22-09-25_17.excalidraw.svg|center]]
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%%[[../Ilustraciónes/Cinematica 22-09-25_17.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%%
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## Aceleración
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De la misma manera, derivando la velocidad damos que:
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$$
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\huge \frac d {dt}(\vec v) =
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(r'' \vec e_r + r' \theta'\vec e_{\theta})
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+ (r' \theta' \vec e_{\theta}
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+ r \theta'' \vec e_{\theta}
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- r \theta' \vec e_r)
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$$
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Si simplificamos
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\huge \vec a = (r'' - r \theta'²)\vec e_r + (2r'\theta'+r\theta'')\vec e_\theta
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En esta formula vemos que tenemos 2 componentes:
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- $\vec e_r$ Vector radial
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- $r''$ aceleración radial
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- $r\theta'²$ aceleración centrifuga
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- $\vec e_\theta$ Vector tangencial
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- $r\theta''$ Componente tangencial por el cambio de velocidad
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- $2r' \theta'$ Como la variación de r convierte parte del giro en componente tangencial
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# Velocidad relativa
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