La **cinemática** es una rama de la física que se encarga de estudiar el **movimiento de los cuerpos** sin preocuparse por las causas que lo producen.
# Definiciones

- **Vector** **posición**, dependerá de un escalar como el tiempo.
$$
\huge \vec{r}(t)=x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}
$$
- **Vector** **desplazamiento**, dependerá de un vector como la posición.
$$
	\huge \Delta\vec{r}=\Delta x\vec{i} +\Delta y\vec{j}+\Delta z\vec{k} 
$$
- **Velocidad** **media**, relación entre un desplazamiento y el incremento de tiempo.
$$
\huge \vec{v}_m=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}
$$
- **Velocidad instantánea**, variación de posición en un instante de tiempo : Tangente de la trayectoria
$$
\huge \vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}
 = \frac{d\vec{r}}{dt}
 = \frac{dx}{dt} \vec{i} + \frac{dy}{dt} \vec{j} + \frac{dz}{dt} \vec{k}
 = v_x \vec{i} + v_y \vec{j} + v_z \vec{k}
$$

- **Aceleración** **media**, relación entre la variación de velocidad y el incremento de tiempo
$$
\huge \vec{a}_m = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}
$$

>[!NOTE] Nota
>Conociendo la posición r(t), podemos obtener la velocidad  v(t) y luego la aceleración  a(t) mediante derivadas sucesivas.
>$$
>\huge \frac{d\vec r}{dt} = \vec v,
>\frac{d\vec v}{dt} = \vec a
>$$
>De forma inversa, a partir de  a(t) podemos determinar  v(t) y luego  r(t) mediante integrales.
>$$
>\huge \int \vec a = \vec v + \vec v_0,
>\int \vec v = \vec r + \vec r_0
>$$


# Aceleración Nula
Cuando la derivada de la aceleración es nula, obtenemos que la velocidad es constante.
$$
\huge \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=0 \quad \Rightarrow \quad \vec{v}=const
$$
Entonces tenemos que su posición es la integral de la velocidad
$$
\huge\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v} \quad \Rightarrow \quad 
\vec{r}=\int_0^{t}
\vec vdt=\vec vt+\vec{r}_0
$$
Así que en un Movimiento rectilíneo uniforme:
$$
\huge a=0 \quad \Rightarrow \quad v=v_0 \quad \Rightarrow\quad  r = r_0+v_0t
$$

# Aceleración constante

Cuando la aceleración tiene tiene una derivada constante, vemos que la velocidad es igual a la integral de la aceleración y como la aceleración es constante obtenemos que $\vec v = \vec at+ \vec v_0$.
$$
\huge \vec a=\frac{d\vec v}{dt}=const
\quad \Rightarrow \quad
\vec v = \int_o^{t}\vec adt=\vec at + \vec v_0
$$
Y como la derivada de la posición es la velocidad que equivale a $\vec v = \vec at+ \vec v_0$
$$
\huge \frac{d\vec r}{dt} = \vec r = \vec at + \vec v_0
\quad \Rightarrow \quad \vec r = \int_0^{t}\vec atdt+\vec v_0dt=\frac{\vec at²}{2}+\vec v_0t + \vec r_0
$$

Así que tenemos que Movimiento rectilíneo uniforme acelerado es
$$
\huge \frac{d\vec a}{dt}=const 
\quad \Rightarrow \quad
\vec r = \vec r_0 + \vec v_0t + \frac 1 2 \vec at²
$$
# Movimiento Circular
Los movimientos circulares se caracterizan porque mantienen siempre la misma distancia al centro de la trayectoria, independientemente de su posición.

- Coordenadas cartesianas (x, y)
- Coordenadas polares (r, $\theta$)

La relación entre el sistema de coordenadas cartesianas y las polares son:
$$
\huge
\begin{cases}
x=r\cos(\theta) \\
y=r\sin(\theta)
\end{cases}
$$
![[../Ilustraciónes/Cinematica 22-09-25_16.excalidraw.svg|center]]
%%[[../Ilustraciónes/Cinematica 22-09-25_16.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%%
La posición de un punto en un plano rotatorio es:
$$
\huge \vec r = r \vec e_r
$$
Donde 
- $\vec r$ es la posición
- r es el radio
- $\vec e_r$ es el vector unitario radial

## Velocidad
La velocidad se puede dar derivando la posición
$$
\huge \vec v = \frac {d \vec r} {dt} =
\frac {d r} {dt} \vec e_r + r \frac {d \vec e_r} {dt} \\

$$
$$
\huge \vec v = r'\vec e_r+r \vec e'_r = r'\vec e_r + r \theta'\vec e_{\theta}
$$

Aquí obtenemos dos términos:
- $r' \cdot \vec e_r$ es la  velocidad radial ya que la derivada de $r$ ($r'$) es la diferencia de radio y este se multiplica por la dirección radial $\vec e_r$
- $r \cdot \vec e'_r$ es mas difícil de ver pero $\vec e'_r$ es la dirección tangencial de la dirección radial y r es el radio

Representado de manera visual
![[../Ilustraciónes/Cinematica 22-09-25_17.excalidraw.svg|center]]
%%[[../Ilustraciónes/Cinematica 22-09-25_17.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%%
## Aceleración
De la misma manera, derivando la velocidad damos que:
$$
\huge \frac d {dt}(\vec v) =
(r'' \vec e_r + r' \theta'\vec e_{\theta})
+ (r' \theta' \vec e_{\theta} 
+ r \theta'' \vec e_{\theta}
- r \theta' \vec e_r)
$$
Si simplificamos
$$
\huge \vec a =  (r'' - r \theta'²)\vec e_r + (2r'\theta'+r\theta'')\vec e_\theta
$$
En esta formula vemos que tenemos 2 componentes:
- $\vec e_r$ Vector radial
	- $r''$ aceleración radial
	- $r\theta'²$ aceleración centrifuga  
- $\vec e_\theta$ Vector tangencial
	- $r\theta''$ Componente tangencial por el cambio de velocidad
	- $2r' \theta'$ Como la variación de r convierte parte del giro en componente tangencial

# Velocidad relativa