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La cinemática es una rama de la física que se encarga de estudiar el movimiento de los cuerpos sin preocuparse por las causas que lo producen.

Definiciones

• Vector posición, dependerá de un escalar como el tiempo.

\huge \vec{r}(t)=x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}

• Vector desplazamiento, dependerá de un vector como la posición.

	\huge \Delta\vec{r}=\Delta x\vec{i} +\Delta y\vec{j}+\Delta z\vec{k} 

• Velocidad media, relación entre un desplazamiento y el incremento de tiempo.

\huge \vec{v}_m=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}

• Velocidad instantánea, variación de posición en un instante de tiempo : Tangente de la trayectoria

\huge \vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}
 = \frac{d\vec{r}}{dt}
 = \frac{dx}{dt} \vec{i} + \frac{dy}{dt} \vec{j} + \frac{dz}{dt} \vec{k}
 = v_x \vec{i} + v_y \vec{j} + v_z \vec{k}

• Aceleración media, relación entre la variación de velocidad y el incremento de tiempo

\huge \vec{a}_m = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}

[!NOTE] Nota Conociendo la posición r(t), podemos obtener la velocidad  v(t) y luego la aceleración  a(t) mediante derivadas sucesivas.

\huge \frac{d\vec r}{dt} = \vec v,
\frac{d\vec v}{dt} = \vec a

De forma inversa, a partir de  a(t) podemos determinar  v(t) y luego  r(t) mediante integrales.

\huge \int \vec a = \vec v + \vec v_0,
\int \vec v = \vec r + \vec r_0

Aceleración Nula

Cuando la derivada de la aceleración es nula, obtenemos que la velocidad es constante.

\huge \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=0 \quad \Rightarrow \quad \vec{v}=const

Entonces tenemos que su posición es la integral de la velocidad

\huge\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v} \quad \Rightarrow \quad 
\vec{r}=\int_0^{t}
\vec vdt=\vec vt+\vec{r}_0

Así que en un Movimiento rectilíneo uniforme:

\huge a=0 \quad \Rightarrow \quad v=v_0 \quad \Rightarrow\quad  r = r_0+v_0t

Aceleración constante

Cuando la aceleración tiene tiene una derivada constante, vemos que la velocidad es igual a la integral de la aceleración y como la aceleración es constante obtenemos que \vec v = \vec at+ \vec v_0.

\huge \vec a=\frac{d\vec v}{dt}=const
\quad \Rightarrow \quad
\vec v = \int_o^{t}\vec adt=\vec at + \vec v_0

Y como la derivada de la posición es la velocidad que equivale a \vec v = \vec at+ \vec v_0

\huge \frac{d\vec r}{dt} = \vec r = \vec at + \vec v_0
\quad \Rightarrow \quad \vec r = \int_0^{t}\vec atdt+\vec v_0dt=\frac{\vec at²}{2}+\vec v_0t + \vec r_0

Así que tenemos que Movimiento rectilíneo uniforme acelerado es

\huge \frac{d\vec a}{dt}=const 
\quad \Rightarrow \quad
\vec r = \vec r_0 + \vec v_0t + \frac 1 2 \vec at²

Movimiento Circular

Los movimientos circulares se caracterizan porque mantienen siempre la misma distancia al centro de la trayectoria, independientemente de su posición.

• Coordenadas cartesianas (x, y)
• Coordenadas polares (r, \theta)

La relación entre el sistema de coordenadas cartesianas y las polares son:

\huge
\begin{cases}
x=r\cos(\theta) \\
y=r\sin(\theta)
\end{cases}

!../Ilustraciónes/Cinematica 22-09-25_16.excalidraw.svg %%../Ilustraciónes/Cinematica 22-09-25_16.excalidraw.md%% La posición de un punto en un plano rotatorio es:

\huge \vec r = r \vec e_r

Donde

• \vec r es la posición
• r es el radio
• \vec e_r es el vector unitario radial

Velocidad

La velocidad se puede dar derivando la posición

\huge \vec v = \frac {d \vec r} {dt} =
\frac {d r} {dt} \vec e_r + r \frac {d \vec e_r} {dt} \\

\huge \vec v = r'\vec e_r+r \vec e'_r = r'\vec e_r + r \theta'\vec e_{\theta}

Aquí obtenemos dos términos:

• r' \cdot \vec e_r es la velocidad radial ya que la derivada de r (r') es la diferencia de radio y este se multiplica por la dirección radial \vec e_r
• r \cdot \vec e'_r es mas difícil de ver pero \vec e'_r es la dirección tangencial de la dirección radial y r es el radio

Representado de manera visual !../Ilustraciónes/Cinematica 22-09-25_17.excalidraw.svg %%../Ilustraciónes/Cinematica 22-09-25_17.excalidraw.md%%

Aceleración

De la misma manera, derivando la velocidad damos que:

\huge \frac d {dt}(\vec v) =
(r'' \vec e_r + r' \theta'\vec e_{\theta})
+ (r' \theta' \vec e_{\theta} 
+ r \theta'' \vec e_{\theta}
- r \theta'² \vec e_r)

Si simplificamos

\huge \vec a =  (r'' - r \theta'²)\vec e_r + (2r'\theta'+r\theta'')\vec e_\theta

En esta formula vemos que tenemos 2 componentes:

• \vec e_r Vector radial
  • r'' aceleración radial
  • r\theta'² aceleración centrifuga
• \vec e_\theta Vector tangencial
  • r\theta'' Componente tangencial por el cambio de velocidad
  • 2r' \theta' Como la variación de r convierte parte del giro en componente tangencial