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En los casos donde se quiere resolver equitación del estilo x²+4=0, nos encontraremos en casos donde x=\sqrt{-4}, para eso asignamos un numero i=\sqrt{-1} , que lo nombramos numero imaginario.
Esto nos da que para toda p(x)=cte (Tiene solución).
- Un numero complejo se declara como
a+b_i, con a y be siendoR. - El modulo de un numero complejo es
|z|=\sqrt{a²+b²}!../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10.excalidraw.svg %%../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10.excalidraw.md%% - Un numero complejo conjugado consiste en cambiar de símbolo un numero imaginario
\overline{z}=a-b_i - z multiplicado por su conjugado
\overline{z},z*\overline{z}=|z|²
\huge z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a²-(bi)²=a²+b²=|z|²
Ejemplo
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Forma polar
La forma polar es una forma alternativa de representar a un numero complejo
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El angulo que forma el eje Ox es el argumento(arg) de z, por lo tanto, |z| y \alpha definen el numero complejo z
\huge r_{\alpha} \cdot r'_{\alpha '}=(r\cdot r') => |z\cdot z'|=|z|\cdot |z'|
Comprobación:
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\huge arg(z z')=arg z + arg z'
[!NOTE] Nota Multiplicar por i equivale a rotar 90
(3+2i)\cdot i=-2+3i
\huge\frac{r_\alpha}{r'_\alpha}=(\frac{r}{r'})_{\alpha-\alpha'}
Potencias
Para calcular la potencia de un numero real se usa
\huge (r_\alpha)^\mu=r^{\mu}_{\mu\alpha}
Ejemplo
\huge(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)^{100}=1_{100\frac{\pi}{4}}
!../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_11_1.excalidraw.svg %%../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_11_1.excalidraw.md%%
Raíz n-esima
Para calcular la raíz n-esima se utiliza
\huge^{\mu}\sqrt{r_\alpha}=r'_{\alpha'}
tal que r'^{\mu}=r \mu\alpha'=\alpha(+k2\pi)