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En los casos donde queremos resolver ecuaciones del tipo x^2 + 4 = 0, obtenemos que x = \sqrt{-4}. Para poder dar sentido a esta raíz cuadrada de un número negativo, se define el número imaginario i = \sqrt{-1}, al que llamamos unidad imaginaria.
Esto nos da que toda ecuación del tipo p(x) = cte tiene solución.
- Un número complejo se escribe como
z = a + bi, cona, b \in \mathbb{R}. - El módulo de un número complejo es
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}. !../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10.excalidraw.svg %%../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10.excalidraw.md%% - El conjugado de un número complejo consiste en cambiar el signo de la parte imaginaria:
\overline{z}=a-b_i - El producto de un número complejo por su conjugado es igual al cuadrado de su módulo:
\overline{z},z\cdot \overline{z}=|z|²
\huge z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a²-(bi)²=a²+b²=|z|²
Forma polar
La forma polar es una forma alternativa de representar a un numero complejo donde se define con su modulo r=|z| y su angulo \alpha de esta manera r_{\alpha} = r (Cos \alpha + i Sin \alpha)
!../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10_1.excalidraw.svg
%%../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10_1.excalidraw.md%%
El ángulo que forma z con el eje real positivo, denotado por \alpha, se llama argumento de z, \arg(z) = \alpha.
Por lo tanto, el módulo |z| y el ángulo \alpha definen completamente el número complejo z.
Una propiedad importante es que el módulo del producto de dos números complejos es igual al producto de sus módulos:
\huge |z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|
Además, en forma polar se expresa como
\huge z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)
[!REMEMBER] Recuerda
\huge |z|=r
y si z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha) y z' = r'(\cos \alpha' + i \sin \alpha'), entonces
\huge z \cdot z' = rr' \big(\cos(\alpha + \alpha') + i \sin(\alpha + \alpha')\big).
[!NOTE] Nota Multiplicar por i equivale a rotar 90
(3+2i)\cdot i=-2+3i
\huge \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'} \big(\cos(\alpha - \alpha') + i \sin(\alpha - \alpha')\big)
Producto polar
La formula para calcular el producto en forma polar
\huge r_{\alpha} \cdot r'_{\alpha'}=(r\cdot r')_{\alpha + \alpha '}
División polar
La formula para dividir en forma polar
\huge \frac {z_1} {z_2} = (\frac {r_1} {r_2})_{\alpha_1-\alpha_2}
Potencia de un número complejo
Si z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha) y \mu \in \mathbb{Z}, entonces:
\huge z^\mu = r^\mu \big(\cos(\mu \alpha) + i \sin(\mu \alpha)\big)
O en forma polar:
\huge z^\mu_{\alpha}=z^\mu_{\alpha\cdot\mu}
- Aquí
r = |z|es el módulo dezy\alpha = \arg(z)es el argumento.
Ejemplo:
Sea z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i.
- Módulo:
r = |z| = 1 - Argumento:
\alpha = \frac{\pi}{4}
Entonces:
z^{100} = 1^{100} \big(\cos(100 \cdot \frac{\pi}{4}) + i \sin(100 \cdot \frac{\pi}{4}) \big)
= \cos(25 \pi) + i \sin(25 \pi)
= -1
Raíz n-ésima de un número complejo
Para calcular la raíz $n$-ésima de un número complejo z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha), se utiliza la siguiente fórmula:
Si tenemos
\huge ^{n}\sqrt r \space (cos \space \alpha + i \space sin \space \alpha)
Podemos obtener n soluciones, que pueden ser repetidas, cada solución sera:
\large R = \space^{n} \sqrt r
y su parte \alpha sera
\large \alpha = \frac {\theta + 2\pi\cdot K} n,\quad donde \space K \{0, 1, 2...n-1\}
Exponencial de un numero complejo
\huge e^{a+bi} = e^{a} \cdot e^{bi}
\huge e^{bi} = Cos(b) + iSin(b)
Si |z| = r \quad argz = \alpha
\huge z=re^{\alpha i}