2025-09-17 19:39:58 +02:00

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La cinemática es una rama de la física que se encarga de estudiar el movimiento de los cuerpos sin preocuparse por las causas que lo producen.

Definiciones

Vector posición, dependerá de un escalar como el tiempo.


\huge \vec{r}(t)=x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}

Vector desplazamiento, dependerá de un vector como la posición.


	\huge \Delta\vec{r}=\Delta x\vec{i} +\Delta y\vec{j}+\Delta z\vec{k}

Velocidad media, relación entre un desplazamiento y el incremento de tiempo.


\huge \vec{v}_m=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}

Velocidad instantánea, variación de posición en un instante de tiempo : Tangente de la trayectoria


\huge \vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}
 = \frac{d\vec{r}}{dt}
 = \frac{dx}{dt} \vec{i} + \frac{dy}{dt} \vec{j} + \frac{dz}{dt} \vec{k}
 = v_x \vec{i} + v_y \vec{j} + v_z \vec{k}

Aceleración media, relación entre la variación de velocidad y el incremento de tiempo


\huge \vec{a}_m = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}

[!NOTE] Nota Conociendo la posición r(t), podemos obtener la velocidad v(t) y luego la aceleración a(t) mediante derivadas sucesivas.
\huge \frac{d\vec r}{dt} = \vec v,
\frac{d\vec v}{dt} = \vec a
De forma inversa, a partir de a(t) podemos determinar v(t) y luego r(t) mediante integrales.
\huge \int \vec a = \vec v + \vec v_0,
\int \vec v = \vec r + \vec r_0

Aceleración Nula

Cuando la derivada de la aceleración es nula, obtenemos que la velocidad es constante.


\huge \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=0 \quad \Rightarrow \quad \vec{v}=const

Entonces tenemos que su posición es la integral de la velocidad


\huge\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v} \quad \Rightarrow \quad 
\vec{r}=\int_0^{t}
\vec vdt=\vec vt+\vec{r}_0

Así que en un Movimiento rectilíneo uniforme:


\huge a=0 \quad \Rightarrow \quad v=v_0 \quad \Rightarrow\quad  r = r_0+v_0t

Aceleración constante

Cuando la aceleración tiene tiene una derivada constante, vemos que la velocidad es igual a la integral de la aceleración y como la aceleración es constante obtenemos que \vec v = \vec at+ \vec v_0.


\huge \vec a=\frac{d\vec v}{dt}=const
\quad \Rightarrow \quad
\vec v = \int_o^{t}\vec adt=\vec at + \vec v_0

Y como la derivada de la posición es la velocidad que equivale a \vec v = \vec at+ \vec v_0


\huge \frac{d\vec r}{dt} = \vec r = \vec at + \vec v_0
\quad \Rightarrow \quad \vec r = \int_0^{t}\vec atdt+\vec v_0dt=\frac{\vec at²}{2}+\vec v_0t + \vec r_0

Así que tenemos que Movimiento rectilíneo uniforme acelerado es


\huge \frac{d\vec a}{dt}=const 
\quad \Rightarrow \quad
\vec r = \vec r_0 + \vec v_0t + \frac 1 2 \vec at²

Movimiento Circular

Los movimientos circulares se caracterizan porque mantienen siempre la misma distancia al centro de la trayectoria, independientemente de su posición.

Coordenadas cartesianas (x, y)
Coordenadas polares (r, \theta)

[!NOTE] Nota La relación entre el sistema de coordenadas cartesianas y las polares son:
\huge
\begin{cases}
x=r\cos(\theta) \\
y=r\sin(\theta)
\end{cases}

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Componentes de la aceleración

=======


\huge \vec xt= \frac 3 {\pi \ \lambda }

3f6ee7f (Fixed math)

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