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La **cinemática** es una rama de la física que se encarga de estudiar el **movimiento de los cuerpos** sin preocuparse por las causas que lo producen.
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# Definiciones
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La cinemática describe el movimiento de un cuerpo (o punto material) en función del tiempo, sin considerar las causas que lo producen. La posición se representa mediante un vector que depende del tiempo
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- **Vector** **posición**, dependerá de un escalar como el tiempo.
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\huge \vec{r}(t)=x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}
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- **Vector** **desplazamiento**, dependerá de un vector como la posición.
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\huge \Delta\vec{r}=\Delta x\vec{i} +\Delta y\vec{j}+\Delta z\vec{k}
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$$
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- **Velocidad** **media**, relación entre un desplazamiento y el incremento de tiempo.
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\huge \vec{v}_m=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}
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- **Velocidad instantánea**, variación de posición en un instante de tiempo : Tangente de la trayectoria
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\huge \vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}
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= \frac{d\vec{r}}{dt}
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= \frac{dx}{dt} \vec{i} + \frac{dy}{dt} \vec{j} + \frac{dz}{dt} \vec{k}
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= v_x \vec{i} + v_y \vec{j} + v_z \vec{k}
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$$
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- **Aceleración** **media**, relación entre la variación de velocidad y el incremento de tiempo
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$$
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\huge \vec{a}_m = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}
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$$
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>[!NOTE] Nota
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>Conociendo la posición r(t), podemos obtener la velocidad v(t) y luego la aceleración a(t) mediante derivadas sucesivas.
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>$$
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>\huge \frac{d\vec r}{dt} = \vec v,
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>\frac{d\vec v}{dt} = \vec a
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>$$
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>De forma inversa, a partir de a(t) podemos determinar v(t) y luego r(t) mediante integrales.
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>$$
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>\huge \int \vec a = \vec v + \vec v_0,
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>\int \vec v = \vec r + \vec r_0
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>$$
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# Aceleración Nula
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Cuando la derivada de la aceleración es nula, obtenemos que la velocidad es constante.
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\huge \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=0 \quad \Rightarrow \quad \vec{v}=const
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Entonces tenemos que su posición es la integral de la velocidad
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$$
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\huge\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v} \quad \Rightarrow \quad
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\vec{r}=\int_0^{t}
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\vec vdt=\vec vt+\vec{r}_0
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$$
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Así que en un Movimiento rectilíneo uniforme:
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\huge a=0 \quad \Rightarrow \quad v=v_0 \quad \Rightarrow\quad r = r_0+v_0t
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# Aceleración constante
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Cuando la aceleración tiene tiene una derivada constante, vemos que la velocidad es igual a la integral de la aceleración y como la aceleración es constante obtenemos que $\vec v = \vec at+ \vec v_0$.
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\huge \vec a=\frac{d\vec v}{dt}=const
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\quad \Rightarrow \quad
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\vec v = \int_o^{t}\vec adt=\vec at + \vec v_0
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$$
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Y como la derivada de la posición es la velocidad que equivale a $\vec v = \vec at+ \vec v_0$
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$$
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\huge \frac{d\vec r}{dt} = \vec r = \vec at + \vec v_0
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\quad \Rightarrow \quad \vec r = \int_0^{t}\vec atdt+\vec v_0dt=\frac{\vec at²}{2}+\vec v_0t + \vec r_0
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$$
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Así que tenemos que Movimiento rectilíneo uniforme acelerado es
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$$
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\huge \frac{d\vec a}{dt}=const
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\quad \Rightarrow \quad
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\vec r = \vec r_0 + \vec v_0t + \frac 1 2 \vec at²
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$$
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# Movimiento Circular
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Los movimientos circulares se caracterizan porque mantienen siempre la misma distancia al centro de la trayectoria, independientemente de su posición.
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- Coordenadas cartesianas (x, y)
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- Coordenadas polares (r, $\theta$)
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>[!NOTE] Nota
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>La relación entre el sistema de coordenadas cartesianas y las polares son:
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>$$
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>\huge
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>\begin{cases}
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>x=r\cos(\theta) \\
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>y=r\sin(\theta)
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>\end{cases}
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>$$
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# Componentes de la aceleración
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