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En los casos donde queremos resolver ecuaciones del tipo $x^2 + 4 = 0$, obtenemos que $x = \sqrt{-4}$. Para poder dar sentido a esta raíz cuadrada de un número negativo, se define el número imaginario $i = \sqrt{-1}$, al que llamamos **unidad imaginaria**.
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Esto nos da que toda ecuación del tipo $p(x) = cte$ tiene solución.
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- Un número complejo se escribe como $z = a + bi$, con $a, b \in \mathbb{R}$.
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- El módulo de un número complejo es $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
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![[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10.excalidraw.svg|center]]
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%%[[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%%
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- El **conjugado** de un número complejo consiste en cambiar el signo de la parte imaginaria: $\overline{z}=a-b_i$
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- El producto de un número complejo por su conjugado es igual al cuadrado de su módulo: $\overline{z}$ , $z\cdot \overline{z}=|z|²$
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\huge z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a²-(bi)²=a²+b²=|z|²
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$$
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## Forma polar
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La forma polar es una forma alternativa de representar a un numero complejo donde se define con su modulo $r=|z|$ y su angulo $\alpha$ de esta manera $r_{\alpha} = r (Cos \alpha + i Sin \alpha)$
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![[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10_1.excalidraw.svg|center]]
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%%[[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10_1.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%%
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El ángulo que forma $z$ con el eje real positivo, denotado por $\alpha$, se llama **argumento** de $z$, $\arg(z) = \alpha$.
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Por lo tanto, el módulo $|z|$ y el ángulo $\alpha$ definen completamente el número complejo $z$.
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Una propiedad importante es que el módulo del producto de dos números complejos es igual al producto de sus módulos:
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\huge |z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|
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$$
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Además, en forma polar se expresa como
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\huge z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)
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>[!REMEMBER] Recuerda
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>$\huge |z|=r$
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y si $z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ y $z' = r'(\cos \alpha' + i \sin \alpha')$, entonces
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$$
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\huge z \cdot z' = rr' \big(\cos(\alpha + \alpha') + i \sin(\alpha + \alpha')\big).
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>[!NOTE] Nota
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>Multiplicar por i equivale a rotar 90
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>$(3+2i)\cdot i=-2+3i$
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\huge \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'} \big(\cos(\alpha - \alpha') + i \sin(\alpha - \alpha')\big)
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$$
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# Producto polar
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La formula para calcular el producto en forma polar
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\huge r_{\alpha} \cdot r'_{\alpha'}=(r\cdot r')_{\alpha + \alpha '}
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# División polar
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La formula para dividir en forma polar
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\huge \frac {z_1} {z_2} = (\frac {r_1} {r_2})_{\alpha_1-\alpha_2}
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$$
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## Potencia de un número complejo
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Si $z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ y $\mu \in \mathbb{Z}$, entonces:
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$$
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\huge z^\mu = r^\mu \big(\cos(\mu \alpha) + i \sin(\mu \alpha)\big)
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$$
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O en forma polar:
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$$
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\huge z^\mu_{\alpha}=z^\mu_{\alpha\cdot\mu}
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$$
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- Aquí $r = |z|$ es el módulo de $z$ y $\alpha = \arg(z)$ es el argumento.
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**Ejemplo:**
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Sea $z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i$.
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- Módulo: $r = |z| = 1$
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- Argumento: $\alpha = \frac{\pi}{4}$
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Entonces:
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z^{100} = 1^{100} \big(\cos(100 \cdot \frac{\pi}{4}) + i \sin(100 \cdot \frac{\pi}{4}) \big)
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= \cos(25 \pi) + i \sin(25 \pi)
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= -1
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$$
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# Raíz n-ésima de un número complejo
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Para calcular la raíz $n$-ésima de un número complejo $z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$, se utiliza la siguiente fórmula:
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Si tenemos
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\huge ^{n}\sqrt r \space (cos \space \alpha + i \space sin \space \alpha)
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Podemos obtener n soluciones, que pueden ser repetidas, cada solución sera:
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\large R = \space^{n} \sqrt r
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y su parte $\alpha$ sera
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\large \alpha = \frac {\theta + 2\pi\cdot K} n,\quad donde \space K \{0, 1, 2...n-1\}
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# Exponencial de un numero complejo
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\huge e^{a+bi} = e^{a} \cdot e^{bi}
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\huge e^{bi} = Cos(b) + iSin(b)
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Si $|z| = r \quad argz = \alpha$
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\huge z=re^{\alpha i}
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$$
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# Teoria funamental...
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Si tenemos un polinomio de grado n como : $p(z)=a_0+a_1z+a_2z²+a_nz^n$, quiere decir que $p(z)=0$ tiene n soluciones (posiblemente repetidas).
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$$
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\huge p(z)=(z-\lambda_1)(z-\lambda_2)...(z-\lambda_n)
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$$
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A mas, si $a_i€ \real$ se verifica que si $\lambda$ es una anel $\Rightarrow \overline \lambda$ también lo es
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Los polinomios de números complejos |