MATH_HOME_17_9_25

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Física/Cinematica.md

@@ -1,6 +1,5 @@
 La **cinemática** es una rama de la física que se encarga de estudiar el **movimiento de los cuerpos** sin preocuparse por las causas que lo producen.
 # Definiciones
-La cinemática describe el movimiento de un cuerpo (o punto material) en función del tiempo, sin considerar las causas que lo producen. La posición se representa mediante un vector que depende del tiempo
 
 - **Vector** **posición**, dependerá de un escalar como el tiempo.
 $$
@@ -92,4 +91,12 @@ Los movimientos circulares se caracterizan porque mantienen siempre la misma dis
 >\end{cases}
 >$$
 
+<<<<<<< HEAD
 # Componentes de la aceleración
+=======
+
+
+$$
+\huge \vec xt= \frac 3 {\pi \ \lambda }
+$$
+>>>>>>> 3f6ee7f (Fixed math)

Matematicas/Números complejos.md

@@ -1,58 +1,95 @@
-En los casos donde se quiere resolver equitación del estilo $x²+4=0$, nos encontraremos en casos donde $x=\sqrt{-4}$, para eso asignamos un numero $i=\sqrt{-1}$ , que lo nombramos numero imaginario.
-Esto nos da que para toda $p(x)=cte$ (Tiene solución).
-- Un numero complejo se declara como $a+b_i$, con a y be siendo $R$.
-- El modulo de un numero complejo es $|z|=\sqrt{a²+b²}$
-![[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10.excalidraw.svg|300]]
+En los casos donde queremos resolver ecuaciones del tipo $x^2 + 4 = 0$, obtenemos que $x = \sqrt{-4}$. Para poder dar sentido a esta raíz cuadrada de un número negativo, se define el número imaginario $i = \sqrt{-1}$, al que llamamos **unidad imaginaria**.
+
+Esto nos da que toda ecuación del tipo $p(x) = cte$ tiene solución.
+- Un número complejo se escribe como $z = a + bi$, con $a, b \in \mathbb{R}$.
+- El módulo de un número complejo es $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
+![[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10.excalidraw.svg]]
 %%[[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%%
-- Un numero complejo conjugado consiste en cambiar de símbolo un numero imaginario $\overline{z}=a-b_i$ 
-- z multiplicado por su conjugado $\overline{z}$ , $z*\overline{z}=|z|²$
+- El **conjugado** de un número complejo consiste en cambiar el signo de la parte imaginaria: $\overline{z}=a-b_i$ 
+- El producto de un número complejo por su conjugado es igual al cuadrado de su módulo: $\overline{z}$ , $z\cdot \overline{z}=|z|²$
 $$
 \huge z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a²-(bi)²=a²+b²=|z|²
 $$
-Ejemplo
-![[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10_0.excalidraw.svg]]
-%%[[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10_0.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%%
 ## Forma polar
-La forma polar es una forma alternativa de representar a un numero complejo
-![[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10_1.excalidraw.svg|300]]
+La forma polar es una forma alternativa de representar a un numero complejo donde se define con su modulo $r=|z|$ y su angulo $\alpha$ de esta manera $r_{\alpha} = r (Cos \alpha + i Sin \alpha)$ 
+![[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10_1.excalidraw.svg]]
 %%[[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_10_1.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%%
-El angulo que forma el eje Ox es el argumento(arg) de z, por lo tanto, $|z|$ y $\alpha$ definen el numero complejo z
+El ángulo que forma $z$ con el eje real positivo, denotado por $\alpha$, se llama **argumento** de $z$, $\arg(z) = \alpha$.
+Por lo tanto, el módulo $|z|$ y el ángulo $\alpha$ definen completamente el número complejo $z$.
+
+Una propiedad importante es que el módulo del producto de dos números complejos es igual al producto de sus módulos:
 
 $$
-\huge r_{\alpha} \cdot r'_{\alpha '}=(r\cdot r') => |z\cdot z'|=|z|\cdot |z'|
+\huge |z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|
 $$
-Comprobación:
+Además, en forma polar se expresa como
+$$
+\huge z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)
+$$
+>[!REMEMBER] Recuerda
+>$\huge |z|=r$
 
-![[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_11_0.excalidraw.svg]]
-%%[[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_11_0.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%%
+
+y si $z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ y $z' = r'(\cos \alpha' + i \sin \alpha')$, entonces
 $$
-\huge arg(z z')=arg z + arg z'
+\huge z \cdot z' = rr' \big(\cos(\alpha + \alpha') + i \sin(\alpha + \alpha')\big).
 $$
 >[!NOTE] Nota
 >Multiplicar por i equivale a rotar 90
 >$(3+2i)\cdot i=-2+3i$
 
 $$
-\huge\frac{r_\alpha}{r'_\alpha}=(\frac{r}{r'})_{\alpha-\alpha'}
+\huge \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'} \big(\cos(\alpha - \alpha') + i \sin(\alpha - \alpha')\big)
+$$
+# Producto polar
+La formula para calcular el producto en forma polar
+$$
+\huge r_{\alpha} \cdot r'_{\alpha'}=(r\cdot r')_{\alpha + \alpha '}
+$$
+# División polar
+La formula para dividir en forma polar
+$$
+\huge \frac {z_1} {z_2} = (\frac {r_1} {r_2})_{\alpha_1-\alpha_2}
+$$
+## Potencia de un número complejo
+
+Si $z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ y $\mu \in \mathbb{Z}$, entonces:
+
+$$
+\huge z^\mu = r^\mu \big(\cos(\mu \alpha) + i \sin(\mu \alpha)\big)
 $$
 
-## Potencias 
-Para calcular la potencia de un numero real se usa
+- Aquí $r = |z|$ es el módulo de $z$ y $\alpha = \arg(z)$ es el argumento.
+
+**Ejemplo:**
+
+Sea $z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i$.  
+- Módulo: $r = |z| = 1$  
+- Argumento: $\alpha = \frac{\pi}{4}$  
+
+Entonces:
 $$
-\huge (r_\alpha)^\mu=r^{\mu}_{\mu\alpha}
+z^{100} = 1^{100} \big(\cos(100 \cdot \frac{\pi}{4}) + i \sin(100 \cdot \frac{\pi}{4}) \big) 
+= \cos(25 \pi) + i \sin(25 \pi) 
+= -1
 $$
-Ejemplo
+
+# Raíz n-ésima de un número complejo
+
+Para calcular la raíz $n$-ésima de un número complejo $z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$, se utiliza la siguiente fórmula:
+
+Si tenemos
 $$
-\huge(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)^{100}=1_{100\frac{\pi}{4}}
+\huge ^{n}\sqrt r \space (cos \space \alpha + i \space sin \space \alpha)
 $$
-![[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_11_1.excalidraw.svg|200]]
-%%[[../Ilustraciónes/Números complejos 09-09-25_11_1.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%%
-# Raíz n-esima 
-Para calcular la raíz n-esima se utiliza
+Podemos obtener n soluciones, que pueden ser repetidas, cada solución sera:
 $$
-\huge^{\mu}\sqrt{r_\alpha}=r'_{\alpha'}
+\large R = \space^{n} \sqrt r
+$$
+y su parte $\alpha$ sera
+$$
+\large \alpha = \frac {\theta + 2\pi\cdot K} n,\quad donde \space K \{0, 1, 2...n-1\} 
 $$
-tal que $r'^{\mu}=r$ $\mu\alpha'=\alpha(+k2\pi)$
 
 # Exponencial de un numero complejo
 $$
@@ -65,3 +102,5 @@ Si $|z| = r \quad argz = \alpha$
 $$
 \huge z=re^{\alpha i}
 $$
+
+