En los casos donde queremos resolver ecuaciones del tipo $x^2 + 4 = 0$, obtenemos que $x = \sqrt{-4}$. Para poder dar sentido a esta raíz cuadrada de un número negativo, se define el número imaginario $i = \sqrt{-1}$, al que llamamos **unidad imaginaria**.

Esto nos da que toda ecuación del tipo $p(x) = cte$ tiene solución.
- Un número complejo se escribe como $z = a + bi$, con $a, b \in \mathbb{R}$.
- El módulo de un número complejo es $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
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- El **conjugado** de un número complejo consiste en cambiar el signo de la parte imaginaria: $\overline{z}=a-b_i$ 
- El producto de un número complejo por su conjugado es igual al cuadrado de su módulo: $\overline{z}$ , $z\cdot \overline{z}=|z|²$
$$
\huge z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a²-(bi)²=a²+b²=|z|²
$$
## Forma polar
La forma polar es una forma alternativa de representar a un numero complejo donde se define con su modulo $r=|z|$ y su angulo $\alpha$ de esta manera $r_{\alpha} = r (Cos \alpha + i Sin \alpha)$ 
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El ángulo que forma $z$ con el eje real positivo, denotado por $\alpha$, se llama **argumento** de $z$, $\arg(z) = \alpha$.
Por lo tanto, el módulo $|z|$ y el ángulo $\alpha$ definen completamente el número complejo $z$.

Una propiedad importante es que el módulo del producto de dos números complejos es igual al producto de sus módulos:

$$
\huge |z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|
$$
Además, en forma polar se expresa como
$$
\huge z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)
$$
>[!REMEMBER] Recuerda
>$\huge |z|=r$


y si $z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ y $z' = r'(\cos \alpha' + i \sin \alpha')$, entonces
$$
\huge z \cdot z' = rr' \big(\cos(\alpha + \alpha') + i \sin(\alpha + \alpha')\big).
$$
>[!NOTE] Nota
>Multiplicar por i equivale a rotar 90
>$(3+2i)\cdot i=-2+3i$

$$
\huge \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'} \big(\cos(\alpha - \alpha') + i \sin(\alpha - \alpha')\big)
$$
## Potencia de un número complejo (Fórmula de De Moivre)

Si $z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ y $\mu \in \mathbb{Z}$, entonces:

$$
\huge z^\mu = r^\mu \big(\cos(\mu \alpha) + i \sin(\mu \alpha)\big)
$$

- Aquí $r = |z|$ es el módulo de $z$ y $\alpha = \arg(z)$ es el argumento.

**Ejemplo:**

Sea $z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i$.  
- Módulo: $r = |z| = 1$  
- Argumento: $\alpha = \frac{\pi}{4}$  

Entonces:
$$
z^{100} = 1^{100} \big(\cos(100 \cdot \frac{\pi}{4}) + i \sin(100 \cdot \frac{\pi}{4}) \big) 
= \cos(25 \pi) + i \sin(25 \pi) 
= -1
$$

# Raíz n-ésima de un número complejo

# Raíz n-ésima

# Raíz n-ésima de un número complejo

# Raíz n-ésima de un número complejo

Para calcular la raíz $n$-ésima de un número complejo $z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$, se utiliza la siguiente fórmula:

$$
z^{1/n} = r^{1/n} \left[ \cos\left(\frac{\alpha + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\alpha + 2k\pi}{n}\right) \right], \quad k = 0, 1, \dots, n-1
$$

- Aquí $r = |z|$ es el módulo y $\alpha = \arg(z)$ es el argumento de $z$.  
- Cada valor de $k$ da una **raíz diferente**, por eso hay $n$ raíces distintas.  
- Notación equivalente: si $z' = r'(\cos \alpha' + i \sin \alpha')$ es una raíz, entonces:  
  $$
  r'^n = r, \quad n \alpha' = \alpha + 2k\pi
  $$


$$
<<<<<<< HEAD
\huge^{\mu}\sqrt{r_\alpha}=r'_{\alpha'}
$$
tal que $r'^{\mu}=r$ $\mu\alpha'=\alpha(+k2\pi)$

# Exponencial de un numero complejo
$$
\huge e^{a+bi} = e^{a} \cdot e^{bi}
$$
$$
\huge e^{bi} = Cos(b) + iSin(b)
$$
Si $|z| = r \quad argz = \alpha$
$$
\huge z=re^{\alpha i}
$$
=======
  r'^n = r, \quad n \alpha' = \alpha + 2k\pi
  $$
>>>>>>> 3f6ee7f (Fixed math)