En los casos donde queremos resolver ecuaciones del tipo $x^2 + 4 = 0$, obtenemos que $x = \sqrt{-4}$. Para poder dar sentido a esta raíz cuadrada de un número negativo, se define el número imaginario $i = \sqrt{-1}$, al que llamamos **unidad imaginaria**.

Esto nos da que toda ecuación del tipo $p(x) = cte$ tiene solución.
- Un número complejo se escribe como $z = a + bi$, con $a, b \in \mathbb{R}$.
- El módulo de un número complejo es $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
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- El **conjugado** de un número complejo consiste en cambiar el signo de la parte imaginaria: $\overline{z}=a-b_i$ 
- El producto de un número complejo por su conjugado es igual al cuadrado de su módulo: $\overline{z}$ , $z\cdot \overline{z}=|z|²$
$$
\huge z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a²-(bi)²=a²+b²=|z|²
$$
## Forma polar
La forma polar es una forma alternativa de representar a un numero complejo donde se define con su modulo $r=|z|$ y su angulo $\alpha$ de esta manera $r_{\alpha} = r (Cos \alpha + i Sin \alpha)$ 
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El ángulo que forma $z$ con el eje real positivo, denotado por $\alpha$, se llama **argumento** de $z$, $\arg(z) = \alpha$.
Por lo tanto, el módulo $|z|$ y el ángulo $\alpha$ definen completamente el número complejo $z$.

Una propiedad importante es que el módulo del producto de dos números complejos es igual al producto de sus módulos:

$$
\huge |z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|
$$
Además, en forma polar se expresa como
$$
\huge z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)
$$
>[!REMEMBER] Recuerda
>$\huge |z|=r$


y si $z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ y $z' = r'(\cos \alpha' + i \sin \alpha')$, entonces
$$
\huge z \cdot z' = rr' \big(\cos(\alpha + \alpha') + i \sin(\alpha + \alpha')\big).
$$
>[!NOTE] Nota
>Multiplicar por i equivale a rotar 90
>$(3+2i)\cdot i=-2+3i$

$$
\huge \frac{z}{z'} = \frac{r}{r'} \big(\cos(\alpha - \alpha') + i \sin(\alpha - \alpha')\big)
$$
# Producto polar
La formula para calcular el producto en forma polar
$$
\huge r_{\alpha} \cdot r'_{\alpha'}=(r\cdot r')_{\alpha + \alpha '}
$$
# División polar
La formula para dividir en forma polar
$$
\huge \frac {z_1} {z_2} = (\frac {r_1} {r_2})_{\alpha_1-\alpha_2}
$$
## Potencia de un número complejo

Si $z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ y $\mu \in \mathbb{Z}$, entonces:

$$
\huge z^\mu = r^\mu \big(\cos(\mu \alpha) + i \sin(\mu \alpha)\big)
$$
O en forma polar:
$$
\huge z^\mu_{\alpha}=z^\mu_{\alpha\cdot\mu}
$$

- Aquí $r = |z|$ es el módulo de $z$ y $\alpha = \arg(z)$ es el argumento.

**Ejemplo:**

Sea $z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i$.  
- Módulo: $r = |z| = 1$  
- Argumento: $\alpha = \frac{\pi}{4}$  

Entonces:
$$
z^{100} = 1^{100} \big(\cos(100 \cdot \frac{\pi}{4}) + i \sin(100 \cdot \frac{\pi}{4}) \big) 
= \cos(25 \pi) + i \sin(25 \pi) 
= -1
$$

# Raíz n-ésima de un número complejo

Para calcular la raíz $n$-ésima de un número complejo $z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$, se utiliza la siguiente fórmula:

Si tenemos
$$
\huge ^{n}\sqrt r \space (cos \space \alpha + i \space sin \space \alpha)
$$
Podemos obtener n soluciones, que pueden ser repetidas, cada solución sera:
$$
\large R = \space^{n} \sqrt r
$$
y su parte $\alpha$ sera
$$
\large \alpha = \frac {\theta + 2\pi\cdot K} n,\quad donde \space K \{0, 1, 2...n-1\} 
$$

# Exponencial de un numero complejo
$$
\huge e^{a+bi} = e^{a} \cdot e^{bi}
$$
$$
\huge e^{bi} = Cos(b) + iSin(b)
$$
Si $|z| = r \quad argz = \alpha$
$$
\huge z=re^{\alpha i}
$$

# Teoria funamental...
Si tenemos un polinomio de grado n como : $p(z)=a_0+a_1z+a_2z²+a_nz^n$, quiere decir que $p(z)=0$ tiene n soluciones (posiblemente repetidas).
$$
\huge p(z)=(z-\lambda_1)(z-\lambda_2)...(z-\lambda_n)
$$
A mas, si $a_i€ \real$ se verifica que si $\lambda$ es una anel $\Rightarrow \overline \lambda$ también lo es

Los polinomios de números complejos